이진수의 음수표현(2의 보수, 오버 플로와 언더 플로)

이번 포스팅은 이전 포스팅인 1의 보수 편을 참고해주시길 바랍니다.

1의 보수 방식

2의 보수 방식 그리고 1의 보수 방식과의 관계(2's complement and the relation with 1's complement)

 

① 2의 보수 방식은 'X = A + B' 에서 기준치 X를 0000....0000(n비트만큼 존재)으로 잡은 것이다.

  ㉠ 즉, 4비트를 기준으로 한다면, 기준값은 0000이 된다.

② 2의 보수 방식으로 보수 처리하는 방법은 1의 보수로 만든 후, +1을 해주면 된다.

  ㉠ +1을 해주는 이유에 대해서는 아래 그림을 참고하자.

    ⓐ 양수는 아무런 문제가 없다. 그런데, 하필이면 1의 보수 방식에 0000..00 = 1111..11인 0이 존재한다. 따라서 1111..11을 0이 아닌 -1로 만들어주는 과정에서 모든 음수를 한 칸 씩 평행이동하는 과정에서 +1이 더해지는 것이다.

    ⓑ 예를 들어 0000(0)을 2의 보수처리하면, 1111에 +1을 해줘서 1 0000이 된다. 최상위 비트에서 캐리가 발생했기 때문에 캐리된 수인 1은 무시된다. 결국 0000(0)이 된다.

    ⓒ 두 번째 예시로, 0001을 2의 보수처리하면, 1110에 +1을 해줘서 1111(-1)이 된다. 0001과 1111을 더하면 1 0000 = 0000이 된다. 기준값이 되기 때문에 옳게 2의 보수처리했음을 알 수 있다.

 

2의 보수와 음수

① 보수와 음수는 무슨 관계가 있는 것일까?

㉠ 다음 그림을 보자.

② 보수처리한 수를 0에 더하면, 보수처리하기 전의 수의 음수와 같다.

③ 부호화 절댓값과 1의 보수방식과는 달리 -0이 없다.

④ 다음 표는 4비트일 때 2의 보수방식으로 나타낼 수 있는 모든 경우의 수를 나타낸 것이다.

⑤ 다음 표는 음수 계산 중 나올 수 있는 상황을 정리한 것이다.

  ㉠ 위의 표들의 계산 결과를 봤을 때 회색, 빨간색으로 나뉜다.

  ㉡ 회색으로 색칠된 부분은 계산을 수행했을 때 정상인 부분이다.

    ⓐ 아래 그림을 보면 십진수로 계산한 것과 이진수로 계산한 것이 같음을 알 수 있다.

  ㉢ 빨간색으로 색칠된 부분은 4비트로 나타낼 수 있는 수의 범위를 벗어난 부분이다.

    ⓐ 4비트로 나타낼 수 있는 수의 범위는 -8~7이다. 따라서 7 초과 또는 -8 미만이 이 경우에 해당한다.

    ⓑ 아래 그림을 보면 십진수로 계산한 것이 4비트로 나타낼 수 있는 범위를 초과했음을 알 수 있다.

    ⓒ 4비트일 때는 이 오류를 해결할 방법이 없다. 하지만 이를 일반화한다면 이 문제가 해결된다.

⑥ 이진수의 2의 보수 계산을 일반화하면 아래와 같다.

  ㉠ 기준치는 0000...000이라고 가정하며, 4비트까지만 나타낸다고 해보자.

    ⓐ 4비트일 때는 -8~7까지만 나타낼 수 있다고 제한했으나, 현재는 나타낼 수 있는 수의 범위 제한이 없다.

    ⓑ 하지만 일반적인 상황에서 굳이 모든 비트를 표시하지 않더라도 적당한 수의 비트를 제외한 비트들을 생략해서 표시하면 된다.

    ⓒ 따라서 4비트에서는 4비트를 초과한 이진값들을 생략하기 때문에 하나의 값이 2개의 값을 갖는 것처럼 보인다.

    ⓓ 예를 들어 -13와 3을 들 수 있다.

생략하는 이유는 4비트만 있으면 충분한데 굳이 4비트를 초과한 비트들을 작성할 이유가 없기 때문이다.

 ㉡ 표의 계산에서 문제가 생기는 상황들의 공통점은 최상위 비트에서 캐리가 발생한다는 것이다.

    ⓐ 따라서 최상위 비트에서 캐리가 발생하는 것과 발생하지 않는 경우로 나눌 수 있다.

    ⓑ 일반화시킨 캐리가 발생하는 경우는 다음과 같다.

요약하자면 "합"이다.

    ⓒ 일반화시킨 캐리가 발생하지 않는 경우는 다음과 같다.

요약하자면 "-(합에 대한 2의 보수)"이다. -(X) = -(-x) = 이므로, 보수에 마이너스를 붙이면 원래 수를 알 수 있다.

⑦ 부호화 절댓값과는 다르게 a - b를 a + (-b)로 계산하기 때문에 가산기(덧셈기)로만 계산하는 것이 가능하다.

⑧ 2의 보수 방식으로 된 수열의 값이 무엇인지 빨리 알 수 있는 신기한 방법이 있다. 1의 보수 방식에서 구한 것과 유사하다.

  ㉠ 예를 들어 1010은 -8 + 2 = -6이다.

  ㉡ 예를 들어 1111 0001은 -128 + 64 + 32 + 1 = -31이다.

  ㉢ 참고로 이진수를 십진수로 변환할 때, 변환과정은 아래과 같다.

 

이진수와 범위

① 이진수를 표현할 수 있는 범위는 무한한 것이 아니다. 쓸데없이 많은 범위를 실제로 모두 쓴다는 것이 불가능할 뿐더러, 경제적으로 낭비이기 때문이다.

② 부호화 절댓값과 1의 보수 방식은 나타낼 수 있는 값의 범위가 같다. 2의 보수 방식은 부호화 절댓값과 1의 보수 방식보다 아래로 1개 더 많다.

③ 다음 그림은 이진수가 나타낼 수 있는 경우의 수이다.

 

 

 

④ 다음 그림은 부호화 절댓값, 1의 보수 방식, 2의 보수 방식이 가질 수 있는 범위를 일반화시킨 것이다.

 

 

 

  ㉠ 부호화 절댓값의 경우, 양수와 음수가 절댓값은 같고, 최상위 비트만 다르므로, 둘다 2n-1의 경우의 수를 가지기 때문에 2 X 2n-1=2n이다.

  ㉡ 1의 보수 방식의 경우, 1의 보수는 양수의 1을 0으로, 0을 1로 바꾸는 것이기 때문에 양수와 음수의 각각 대응된다. 양수의 경우의 수는 2n-1이다. 음수가 양수에 대응되므로, 2 X 2n-1=2n이다.

  ㉢ 2의 보수 방식의 경우, 1의 보수 방식에서 -0을 제거하고, 음수 쪽으로 한 칸씩 평행이동했기 때문에, -0 대신 음수가 있다.

오버플로와 언더플로

① 오버플로라는 말의 의미는 위로 넘쳐 흐른 것이다. 이와 대조되는 용어로 언더플로가 있다. 언더플로는 아래로 넘쳐 흐른 것이다.

② 넘쳤다는 말은 즉슨, 원래는 한계가 있었다는 것이다. 표시하고자 하는 범위를 넘어갔기 때문에 다시 처음으로 넘어가는 것이다.

③ 오버플로를 이해하기 위해선 아래 사진을 먼저 이해하는 것이 필요하다.

  ㉠ 2진수를 위의 사진과 같이 회전판이라고 생각해보자.

  ㉡ 예를 들어 0001(1)+0010(2) = 0011(3)를 표현하려고 한다. 0000에서 화살표 방향으로 1칸을 움직여주고, 2칸을 움직여주면 0011(3)이 된다.

  ㉢ 4비트에서 2의 보수 방식으로는 -8~7까지 표현할 수 있다. 그렇다면, 범위를 넘어가면 어떻게 될까?

    ⓐ 예를 들어 0110(6) + 0011(3)을 계산해보자. 0000에서 화살표 방향으로 6칸을 움직여주고, 3칸을 움직여주면 1001(-7)이 된다. 원래라면 9가 나와야하지만, 전혀 다른 결과가 나왔다. 이것을 오버플로(overflow)라고 한다.    

    ⓑ 예를 들어 1100(-4) + 1011(- 5)를 계산해보자. 0000에서 화살표 반대 방향으로 4칸 움직여주고, 5칸을 움직여주면 0111(7)이 된다. 원래라면 -9가 나와야하지만, 전혀 다른 결과가 나왔다. 이것을 언더플로(underflow)라고 한다.

  ㉣ 이것의 원리가 무엇인지 봐보자.

    ⓐ 첫 번쨰 예시였던 0110(6) + 0011(3)를 식으로 계산해보자. 아래 그림을 참고하자.

6 + 3이 -7이 나왔다. 양수의 최대 범위인 7에서 시계방향으로 2칸 더 앞으로 가면 -7이다.

    ⓑ 첫 번쨰 예시였던 1100(-4) + 1011(- 5)를 식으로 계산해보자. 아래 그림을 참고하자.

-4 - 5가 7이 나왔다. 음수의 최대 범위인 -8에서 시계반대방향으로 1칸 더 가면 7이다.

④ 오버플로와 언더플로는 한 눈에는 다른 계산과 구별이 가지 않는다. 따라서 오버플로와 언더플로를 방지하려면, 둘의 특성을 알아야 한다.

  ㉠ ①~④번 중에 오버플로 또는 언더플로인 것은 ①번과 ②번이다.

  ㉡ 최상위 비트와 그 다음 5번째 비트의 캐리를 보면 알 수 있다.

  ㉢ 캐리가 01이면 오버플로, 10이면 언더플로이며, 11 또는 00이면 정상이다.